Впервые я прочитал о фракталах больше 40 лет назад, классе в пятом-шестом, в журнале "Техника - молодежи". Слово "Фрактал" происходит от латинского "дробный", так как у этих математических фигур дробная размерность. Они не трехмерны, и не двумерны, и не одномерны - их размерность выражается не целым числом, а дробью, например, 1 целая и четыре десятых, 2 целых и шесть десятых... Фракталами американский математик Бенуа Мандельброт предложил называть особые математические объекты, обладающие свойством дробности и до него не изучавшиеся. Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами и отверстиями, шершавых и т. п. В 1977 году вышла его книга "The Fractal Geometry of Nature" - "Фрактальная геометрия природы".
Представим себе числовую последовательность, каждый следующий член который равен квадрату предыдущего члена плюс постоянное слагаемое (константа). Что ожидает нас в конце, каков предел, к чему она стремится? На числовой прямой все просто - если начинать с того, что меньше единицы, то стремится к нулю, а если с большего единицы, то к бесконечности. А если взять числовую плоскость? Комплексные то есть числа, которые суть точки на плоскости? Задачка не решается. То есть совсем не решается - аналитически никак нельзя предсказать, ни из каких законов не следует, что ждет в конце последовательности с таким-то начальным числом и с такой-то константой. Поскольку это требует чрезвычайно больших вычислительных затрат, то поставленный еще в начале XX века Гастоном Жюлиа и Пьером Фату вопрос, так и оставался без ответа. Лишь в семидесятые годы, с появлением компьютеров, возможно стало подступить к проблеме. Что и сделал Бенуа Мандельброт. Это множества Мандельброта, названная по имени Бенуа Мандельброта, первого ее исследователя, самого известного фрактала.
Посчитали и удивились - если нанести на плоскость все точки, от которых последовательность не убегает на бесконечность за какое-то приемлемое число шагов, то получается невообразимо, фантастически сложная фигура. Эту геометрическую фигуру, т. е. множество точек, назвали множеством Мандельброта. Непонятно, как такое простое уравнение может привести к такой сложной структуре, тем не менее, это так... Открытие таких геометрических объектов стало эпохальным событием в земной науке.
То есть если какая-то цивилизация оказалась способна изобразить множество Мандельброта, то это может свидетельствовать о ее высоком уровне развития? Да, ни одна цивилизация древности не оставила изображений множества Мандельброта, значит все разговоры об их продвинутости не слишком основательны. Никакие индейцы майя и другие, кому приписывают будто бы высокий уровень развития, множество Мандельброта не открыли.
Я написал программы на ГитХабе: Множество Мандельброта графического интерфейса и Множество Мандельброта консольную утилиту. Вы можете посмотреть про теория возмущений, про опорной траекторию, про расчет существенно быстрее, если использовать билинейную аппроксимацию и так далее. На C++. Конечно я делаю настоящий SSAA 8x8 для идеально сглаженного изображения.
Во множестве Мандельброта есть много красивых изображений. Нахождение их стало видом искусства - компьютерной графики. Вот несколько графических работ и анимации gif, которые сделал я в commons.wikimedia.org
Мои анимации gif:
Мои графические работы:
